Có thể có vô số

Hình thể hiện có thể có nhiều hơn một cây bao trùm nhỏ nhất trong một đồ thị. Hai cây ở phía dưới đồ thị là hai cây bao trùm nhỏ nhất có thể có từ đồ thị đã cho.

Có thể có một vài cây bao trùm nhỏ nhất có cùng trọng số và có số cạnh nhỏ nhất; cụ thể hơn, nếu tất cả các cạnh của một đồ thị đều có trọng số bằng nhau, thì tất cả các cây bao trùm của đồ thị đó đều là nhỏ nhất.

Tính duy nhất

Nếu mỗi cạnh có trọng số riêng biệt thì sẽ chỉ có một, và chỉ một cây bao trùm nhỏ nhất. Có thể chứng minh phát biểu này bằng quy nạp hoặc phản chứng. Điều này đúng trong nhiều trường hợp thực tế, như ví dụ về công ty truyền hình cáp ở trên chẳng hạn, khi đó rất hiếm khi hai con đường lại có chính xác cùng một chi phí. Phát biểu này cũng được tổng quát hóa cho rừng bao trùm.

Đồ thị có chi phí nhỏ nhất

Nếu trọng số là số dương, thì một cây bao trùm nhỏ nhất cũng chính là đồ thị con có chi phí nhỏ nhất kết nối tất cả đỉnh, vì các đồ thị con có chứa chu trình bao giờ cũng có tổng trọng số lớn hơn.

Tính chất vòng

Với một chu trình C bất kỳ trong đồ thị, nếu trọng số của cạnh e nào đó của C lớn hơn trọng số của các cạnh còn lại của C, thì cạnh đó không thể thuộc về cây bao trùm nhỏ nhất. Giả sử điều ngược lại, nếu e thuộc về cây bao trùm nhỏ nhất T1, khi chúng ta xóa e, nó sẽ phân T1 ra làm hai cây con mà hai đầu của e thuộc về hai cây con khác nhau. Các cạnh còn lại của C sẽ gắn hai cây con này lại với nhau, do đó sẽ tồn tại một cạnh f thuộc C có hai đầu nằm trên hai cây con này, tức là nó sẽ kết nối hai cây con này lại một cây T2 có trọng số nhỏ hơn T1, vì trọng số của f nhỏ hơn trọng số của e.

Tính chất cắt

Hình này cho thấy tính chất cắt. T là cây bao trùm nhỏ nhất của đồ thị. Nếu S = {A,B,D,E}, thì V-S = {C,F}, sẽ có thể có 4 cạnh nối nhát cắt (S, V-S), đó là BC, EC, EF. Khi đó, e là một trong các cạnh có trọng số nhỏ nhất của nhát cắt, vì vậy S ∪ {\displaystyle \cup } {e} thuộc về cây nhỏ nhất T.

Với nhát cắt C bất kỳ trong đồ thị, nếu trọng số của một cạnh e của C nhỏ hơn trọng số của các cạnh còn lại của C, thì cạnh này thuộc về tất cả các cây bao trùm nhỏ nhất của đồ thị. Thực vậy, giả sử điều ngược lại, cạnh BC (có trọng số là 6) thuộc về cây bao trùm nhỏ nhất T thay vì cạnh e (trọng số 4) trong hình bên trái. Khi đó thêm e vào T sẽ tạo thành một chu trình, còn thay BC bằng e sẽ tạo ra một cây bao trùm nhỏ nhất có trọng số nhỏ hơn.

Cạnh có chi phí nhỏ nhất

Nếu một cạnh của đồ thị với chi phí nhỏ nhất e là duy nhất, thì cạnh này sẽ thuộc về bất kỳ một cây bao trùm nhỏ nhất nào. Thật vậy, nếu e không nằm trong cây bao trùm nhỏ nhất, xóa một cạnh (có chi phí lớn hơn) trong chu trình tạo ra sau khi thêm e vào cây, sẽ tạo ra cây bao trùm có trọng số nhỏ hơn.